10 цікавих парадоксів, над якими вам доведеться гарненько подумати

На прочитання цієї добірки у вас піде значно менше часу, ніж на роздуми про парадокси, представлених в ній. Деякі з проблем суперечливі лише на перший погляд, інші навіть після сотень років напруженої розумової праці над ними найвидатніших математиків, філософів та економістів здаються нерозв'язними. Хто знає, можливо, саме вам вдасться сформулювати рішення однієї з цих завдань, яке стане, як то кажуть, хрестоматійним і увійде в усі підручники.

1. Парадокс цінності
Феномен, відомий також як парадокс алмазів і води або парадокс Сміта (названий на честь Адама Сміта - автора класичних праць з економічної теорії, який, як вважається, першим сформулював цей парадокс), полягає в тому, що хоча вода як ресурс набагато корисніше шматків кристалічного вуглецю, званих нами алмазами, ціна останніх на міжнародному ринку незрівнянно вище вартості води.
З точки зору виживання вода дійсно потрібна людству набагато більше алмазів, проте її запаси, звичайно ж, більше запасів алмазів, тому фахівці говорять, що нічого дивного в різниці цін немає - адже мова йде про вартість одиниці кожного ресурсу, а вона багато в чому визначається таким фактором, як гранична корисність.
При безперервному акті споживання будь-якого ресурсу його гранична корисність і, як наслідок, вартість неминуче падає - цю закономірність в XIX-му столітті відкрив прусський економіст Герман Генріх Госсен. Говорячи простою мовою, якщо людині послідовно запропонувати три склянки води, перший він вип'є, водою з другого вмиється, а третій піде на миття підлоги.
Велика частина людства не відчуває гострої потреби в воді - щоб отримати достатню її кількість, варто тільки відкрити водопровідний кран, а ось алмази є далеко не у всіх, тому вони настільки дороги.

2. Парадокс убитого дідуся
Цей парадокс в 1943-му році запропонував французький письменник-фантаст Рене Баржавель в своїй книзі "Необережний мандрівник" (в оригіналі "Le Voyageur Imprudent").
Припустимо, вам вдалося винайти машину часу, і ви вирушили на ній в минуле. Що станеться, якщо ви зустрінете там свого дідуся і вб'єте його до того, як він зустрівся з вашою бабусею? Ймовірно, не всім сподобається цей кровожерливий сценарій, тому, скажімо, ви уникнете зустріч іншим шляхом, наприклад, відвезете його на інший кінець світу, де він ніколи не дізнається про її існування, парадокс від цього не зникає.
Якщо зустріч не відбудеться, ваша мати або батько не з'явиться на світ, не зможе зачати вас, а ви відповідно не винайде машину часу і не потрапите в минуле, тому дідусь зможе безперешкодно одружитися на бабусі, у них народиться один з ваших батьків і так далі - парадокс наявності.
Історія з убитим в минулому дідусем часто наводиться вченими як доказ принципової неможливості подорожей у часі, однак деякі фахівці говорять, що при певних умовах парадокс цілком вирішуване. Наприклад, убивши свого дідуся, мандрівник у часі створить альтернативну версію реальності, в якій він ніколи не буде народжений.
Крім того, багато хто висловлює припущення, що навіть потрапивши в минуле, людина не зможе на нього вплинути, так як це призведе до зміни майбутнього, частиною якого він є. Наприклад, спроба вбивства дідуся наперед приречена на провал - адже якщо онук існує, значить, його дід, так чи інакше, пережив замах.

3. Корабель Тесея
Назва парадоксу дав один з грецьких міфів, що описує подвиги легендарного Тесея, одного з афінських царів. Згідно з легендою, афіняни кілька сотень років зберігали корабель, на якому Тесей повернувся в Афіни з острова Крит. Звичайно, судно поступово старів, і теслі замінювали прогнилі дошки на нові, в результаті чого в ньому не залишилося ні шматочка старої деревини. Кращі уми світу, в числі яких видні філософи на кшталт Томаса Гоббса і Джона Локка століттями міркували над тим, чи можна вважати, що саме на цьому судні колись подорожував Тесей.
Таким чином, суть парадоксу в наступному: якщо замінити всі частини об'єкта на нові, чи може він бути тим же самим об'єктом? Крім того, виникає питання - якщо зі старих частин зібрати точно такий же об'єкт, який з двох буде "тим самим"? Представники різних філософських шкіл давали прямо протилежні відповіді на ці питання, але деякі протиріччя в можливих рішеннях парадоксу Тесея досі існують.
До речі, якщо врахувати, що клітини нашого організму практично повністю оновлюються кожні сім років, чи можна вважати, що в дзеркалі ми бачимо ту саму людину, що і сім років тому?

4. Парадокс Галілея
Відкритий Галілео Галілеєм феномен демонструє суперечливі властивості нескінченних множин. Коротке формулювання парадокса така: натуральних чисел стільки ж, скільки їх квадратів, тобто, кількість елементів нескінченної кількості 1, 2, 3, 4 ... дорівнює кількості елементів нескінченної кількості 1, 4, 9, 16 ...
На перший погляд, ніякого протиріччя тут немає, проте той же Галілей у своїй роботі "Дві науки" стверджує: деякі числа є точними квадратами (тобто з них можна витягти цілий квадратний корінь), а інші ні, тому точних квадратів разом зі звичайними числами має бути більше, ніж одних точних квадратів. Тим часом, раніше в "Наука" зустрічається постулат про те, що квадратів натуральних чисел стільки ж, скільки самих натуральних чисел і ці два твердження прямо протилежні одна одній.
Сам Галілей вважав, що парадокс можна вирішити тільки стосовно до кінцевих множин, проте Георг Кантор, один з німецьких математиків XIX-го століття, розробив свою теорію множин, згідно з якою другий постулат Галілея (про однаковій кількості елементів) вірний і для нескінченних множин. Для цього Кантор ввів поняття потужності безлічі, які при розрахунках для обох нескінченних множин збіглися.

5. Парадокс ощадливості
Найвідоміша формулювання цікавого економічного явища, описаного Уодділом Кетчінгсом і Вільямом Фостером виглядає наступним чином: "Чим більше ми відкладаємо на чорний день, тим швидше він настане". Щоб зрозуміти суть протиріччя, укладеного в цьому феномені, трохи економічної теорії.
Якщо під час економічного спаду більшість населення починає економити свої заощадження, знижується сукупний попит на товари, що в свою чергу призводить до зменшення заробітку і як наслідок - падіння загального рівня економії і скорочення заощаджень. Попросту кажучи, виникає свого роду замкнене коло, коли споживачі витрачають менше грошей, але тим самим погіршують свій добробут.
У деякому роді парадокс ощадливості аналогічний проблеми з теорії ігор під назвою дилема в'язня: дії, які вигідні кожному учаснику ситуації окремо, шкідливі для них в цілому.

6. Парадокс Піноккіо
Є різновидом філософської проблеми, відомої як парадокс брехуна. Цей парадокс простий за формою, але аж ніяк не за змістом. Його можна виразити в трьох словах: "Це твердження - брехня", або навіть в двох - "Я брешу". У варіанті з Піноккіо проблема сформульована так: "Мій ніс зараз росте".
Думаю, вам зрозуміло протиріччя, що міститься в цьому твердженні, але про всяк випадок, розставимо всі крапки над е: якщо фраза вірна, значить, ніс дійсно росте, але це означає що в даний момент дітище тата Карло бреше, чого не може бути, так як ми вже з'ясували, що твердження правдиво. Значить, ніс рости не повинен, але якщо це не відповідає дійсності, висловлювання все-таки істинно, а це в свою чергу свідчить, що Піноккіо бреше ... І так далі - ланцюжок взаємовиключних причин і наслідків можна продовжувати до нескінченності.
Парадокс брехуна показує протиріччя висловлювання в розмовній мові формальної логіки. З точки зору класичної логіки проблема нерозв'язна, тому твердження "Я брешу" взагалі не вважається логічним.

7. Парадокс Рассела
Парадокс, який його відкривач, знаменитий британський філософ і математик Бертран Рассел називав не інакше, як парадокс цирульника, строго кажучи, можна вважати однією з форм парадоксу брехуна.
Припустимо, проходячи повз перукарні, ви побачили на ній рекламне оголошення: "Голитеся самі? Якщо ні, ласкаво просимо голитися! Голю всіх, хто не голиться сам, і нікого іншого!". Закономірно поставити запитання: яким чином цирульник управляється з власної щетиною, якщо він голить лише тих, хто не голиться самостійно? Якщо ж він сам не голить власну бороду, це суперечить його хвалькуватому твердженням: "голю всіх, хто не голиться сам".
Звичайно, найлегше припустити, що недалекий цирульник просто не подумав про суперечність, що міститься в його вивісці і забути про цю проблему, але спробувати зрозуміти її суть набагато цікавіше, правда для цього доведеться ненадовго зануритися в математичну теорію множин.
Парадокс Рассела виглядає так: "Нехай K - безліч всіх множин, які не містять себе в якості власного елемента. Чи містить K саме себе в якості власного елемента? Якщо так, це спростовує твердження, що безлічі в його складі" не містять себе в якості власного елемента ", якщо ж ні, виникає суперечність з тим, що до є безліччю всіх множин, що не містять себе як власний елемент, а значить K повинно містити всі можливі елементи, включаючи себе".
Проблема виникає через те, що Рассел в міркуваннях використовував поняття "множина всіх множин", яка сама по собі досить суперечливо, і керувався при цьому законами класичної логіки, які застосовні далеко не у всіх випадках (див. Пункт шість).
Відкриття парадоксу цирульника спровокувало запеклі суперечки в самих різних наукових колах, які не вщухають досі. Для "порятунку" теорії множин математики розробили кілька систем аксіом, але доказів несуперечності цих систем немає і, на думку деяких вчених, бути не може.

8. Парадокс днів народження
Петер Густав Діріхле
Суть проблеми полягає в наступному: якщо існує група з 23-х або більше чоловік, ймовірність того, що у двох з них дні народження (число і місяць) співпадуть, перевищує 50%. Для груп від 60-ти чоловік шанс становить понад 99%, але 100% досягає, тільки якщо в групі не менше 367-ми осіб (з урахуванням високосних років). Про це свідчить принцип Діріхле, названий по імені його відкривача, німецького математика Петера Густава Діріхле.
Строго кажучи, з наукової точки зору це твердження не суперечить логіці і тому не є парадоксом, зате воно відмінно демонструє різницю результатів інтуїтивного підходу та математичних розрахунків, адже на перший погляд для такої невеликої групи ймовірність збігу здається сильно завищеною.
Якщо розглядати кожного члена групи окремо, оцінюючи ймовірність збігу його дня народження з чиїмось іншим, для кожної людини шанс складе приблизно 0,27%, таким чином, загальна ймовірність для всіх членів групи повинна бути близько 6,3% (23 / 365). Але це в корені невірно, адже кількість можливих варіантів вибору певних пар з 23-х людина набагато вище числа її членів і становить (23 * 22) / 2 = 253, виходячи з формули обчислення так званого числа сполучень з даної множини. Не будемо заглиблюватися в комбінаторики, можете на дозвіллі перевірити правильність цих розрахунків.
Для 253-х варіантів пар шанс, що місяць і дата народження учасників однієї з них виявляться однаковими, як ви напевно здогадалися, значно більше 6,3%.

9. Проблема курки і яйця
Напевно, кожному з вас хоча б раз у житті ставили питання: "Що з'явилося раніше - курка чи яйце?". Досвідчені в зоології знають відповідь: птахи з'являлися на світ з яєць задовго до виникнення серед них загону курячих. Варто відзначити, що в класичній формулюванні йдеться якраз про птаха і яйці, а й вона допускає легке рішення: адже, наприклад, динозаври з'явилися раніше птахів, і вони теж розмножувалися, відкладаючи яйця.
Якщо врахувати всі ці тонкощі, можна сформулювати проблему наступним чином: що з'явилося раніше - перша тварина, що відкладає яйця, або власне його яйце, адже звідкись мав вилупитися представник нового виду.
Головна проблема полягає в установці причинно-наслідкового зв'язку між явищами нечіткого обсягу. Для більш повного розуміння цього ознайомтеся з принципами нечіткої логіки - узагальнення класичної логіки і теорії множин.
Говорячи спрощено, справа в тому, що тварини в ході еволюції пройшли через незліченну кількість проміжних етапів - це стосується і способів виведення потомства. На різних еволюційних стадіях вони відкладали різні об'єкти, які не можна однозначно визначити як яйця, але мають з ними деяку схожість.
Ймовірно, об'єктивного вирішення цієї проблеми не існує, хоча, наприклад, британський філософ Герберт Спенсер запропонував такий варіант: "Курка - лише спосіб, яким одне яйце виробляє інше яйце".

10. Зникнення клітини
На відміну від більшості інших парадоксів добірки, ця жартівлива "проблема" не містить в собі протиріччя, служить скоріше для тренування спостережливості і змушує згадати основні закони геометрії.
Якщо вам знайомі подібні завдання, можете не дивитися відео - в ньому міститься її рішення. Всім іншим пропонуємо не лізти, як то кажуть, "в кінець підручника", а подумати: площі різнокольорових фігур абсолютно рівні, однак при їх перестановці "пропадає" одна з клітин (або стає "зайвою" - в залежності від того, який варіант розташування фігур розглядати в якості початкового). Як таке може бути?
Підказка: спочатку в завданні присутня невелика хитрість, яка і забезпечує її "парадоксальність", і якщо вам вдасться її знайти, все відразу стане на свої місця, хоча клітина як і раніше буде "зникати".