10 дивовижних парадоксів, які поставлять вас в глухий кут

Парадокси можна знайти всюди, від екології до геометрії і від логіки до хімії. Навіть комп'ютер, на якому ви читаєте статтю, сповнений парадоксів. Перед вами - десять пояснень досить цікавих парадоксів. Деякі з них настільки дивні, що ми просто не можемо повністю зрозуміти, в чому ж суть.

1. Парадокс Банаха-Тарського
Уявіть собі, що ви тримаєте в руках кулю. А тепер уявіть, що ви почали рвати цю кулю на шматки, причому шматки можуть бути будь-якої форми, яка вам подобається. Після складіть шматочки разом таким чином, щоб у вас вийшло дві кулі замість одного. Який буде розмір цих куль в порівнянні з кулею-оригіналом?

Відповідно до теорії множин, два отриманих кулі будуть такого ж розміру і форми, як куля-оригінал. Крім того, якщо врахувати, що кулі при цьому мають різний обсяг, то будь-який з куль може бути перетворений у відповідності з іншим. Це дозволяє зробити висновок, що горошину можна розділити на кулі розміром з Сонце.

Хитрість парадоксу полягає в тому, що ви можете розірвати кулі на шматки будь-якої форми. На практиці зробити це неможливо - структура матеріалу і в кінцевому підсумку розмір атомів накладають деякі обмеження.

Для того щоб було дійсно можливо розірвати кулю так, як вам подобається, він повинен містити нескінченне число доступних нульмерние точок. Тоді куля з таких точок буде нескінченно щільним, і коли ви розірве його, форми шматків можуть вийти настільки складними, що не матимуть певного обсягу. І ви можете зібрати ці шматки, кожен з яких містить нескінченне число точок, в новий шар будь-якого розміру. Новий шар буде як і раніше складатися з нескінченних точок, і обидві кулі будуть однаково нескінченно щільними.
Якщо ви спробуєте втілити ідею на практиці, то нічого не вийде. Зате все чудово виходить при роботі з математичними сферами - безмежно ділимими числовими множинами в тривимірному просторі. Вирішений парадокс називається теоремою Банаха-Тарського і грає величезну роль в математичній теорії множин.

2. Парадокс Пето
Очевидно, що кити набагато більші нас, це означає, що у них в тілах набагато більше клітин. А кожна клітина в організмі теоретично може стати злоякісної. Отже, у китів набагато більше шансів захворіти на рак, ніж у людей, так?

Не так. Парадокс Пето, названий на честь оксфордського професора Річарда Пето, стверджує, що кореляції між розміром тваринного і раком не існує. У людей і китів шанс захворіти на рак приблизно однаковий, а ось деякі породи крихітних мишей мають набагато більше шансів.

Деякі біологи вважають, що відсутність кореляції в парадоксі Пето можна пояснити тим, що більші тварини краще чинять опір пухлини: механізм працює таким чином, щоб запобігти мутацію клітин в процесі ділення.

3. Проблема теперішнього часу
Щоб щось могло фізично існувати, воно повинне бути присутнім в нашому світі протягом якогось часу. Не може бути об'єкта без довжини, ширини і висоти, а також не може бути об'єкта без "тривалості" - "миттєвий" об'єкт, тобто той, який не існує хоча б якоїсь кількості часу, не існує взагалі.

Згідно універсального нігілізму, минуле і майбутнє не займають часу в сьогоденні. Крім того, неможливо кількісно визначити тривалість, яку ми називаємо "справжнім часом": будь-яку кількість часу, який ви назвете "теперішнім часом", можна розділити на частини - минуле, сьогодення і майбутнє.

Якщо даний триває, припустимо, секунду, то цю секунду можна розділити на три частини: перша частина буде минулим, друга - справжнім, третя - майбутнім. Третина секунди, яку ми тепер називаємо справжнім, можна теж розділити на три частини. Напевно ідею ви вже зрозуміли - так можна продовжувати нескінченно.

Таким чином, справжнього насправді не існує, тому що воно не триває в часі. Універсальний нігілізм використовує цей аргумент, щоб довести, що не існує взагалі нічого.

4. Парадокс Моравека
При вирішенні проблем, що вимагають вдумливого міркування, у людей трапляються труднощі. З іншого боку, основні моторні і сенсорні функції на кшталт ходьби не викликають ніяких труднощів взагалі.

Але якщо говорити про комп'ютери, все навпаки: комп'ютерів дуже легко вирішувати найскладніші логічні завдання на зразок розробки шахової стратегії, але куди складніше запрограмувати комп'ютер так, щоб він зміг ходити або відтворювати людську мову. Ця різниця між природним і штучним інтелектом відомо як парадокс Моравека.
Ханс Моравек, науковий співробітник факультету робототехніки Університету Карнегі-Меллона, пояснює це спостереження через ідею реверсного інжинірингу нашого власного мозку. Реверсний інжиніринг найважче провести при завданнях, які люди виконують несвідомо, наприклад, рухових функціях.

Оскільки абстрактне мислення стало частиною людської поведінки менше 100 000 років тому, наша здатність вирішувати абстрактні завдання є свідомою. Таким чином, для нас набагато легше створити технологію, яка емулює таку поведінку. З іншого боку, такі дії, як ходьба або розмова, ми не осмислюємо, так що змусити штучний інтелект робити те ж саме нам складніше.

5. Закон Бенфорда
Який шанс, що випадкове число почнеться з цифри "1"? Або з цифри "3"? Або з "7"? Якщо ви трохи знайомі з теорією ймовірності, то можете припустити, що ймовірність - один до дев'яти, або близько 11%.

Якщо ж ви подивіться на реальні цифри, то помітите, що "9" зустрічається набагато рідше, ніж в 11% випадків. Також куди менше цифр, ніж очікувалося, починається з "8", зате колосальні 30% чисел починається з цифри "1". Ця парадоксальна картина проявляється у всіляких реальних випадках, від кількості населення до цін на акції та довжини річок.

Фізик Френк Бенфорд вперше відзначив це явище в 1938-му році. Він виявив, що частота появи цифри в якості першої падає в міру того, як цифра збільшується від одного до дев'яти. Тобто "1" з'являється в якості першої цифри приблизно в 30,1% випадків, "2" з'являється близько 17,6% випадків, "3" - приблизно в 12,5%, і так далі до "9", яка виступає в як першу цифри всього лише в 4,6% випадків.

Щоб зрозуміти це, уявіть собі, що ви послідовно нумеруете лотерейні квитки. Коли ви пронумерували квитки від одного до дев'яти, шанс будь-цифри стати першою становить 11,1%. Коли ви додаєте квиток № 10, шанс випадкового числа початися з "1" зростає до 18,2%. Ви додаєте квитки з № 11 по № 19, і шанс того, що номер квитка почнеться з "1", продовжує зростати, досягаючи максимуму в 58%. Тепер ви додаєте квиток № 20 і продовжуєте нумерувати квитки. Шанс того, що число почнеться з "2", росте, а ймовірність того, що воно почнеться з "1", повільно падає.

Закон Бенфорда не поширюється на всі випадки розподілу чисел. Наприклад, набори чисел, діапазон яких обмежений (людський зріст або вага), під закон не потрапляють. Він також не працює з безліччю, які мають тільки один або два порядки.
Проте, закон поширюється на багато типів даних. В результаті влада може використовувати закон для виявлення фактів шахрайства: коли надана інформація не дотримується закону Бенфорда, влада може зробити висновок, що хтось сфабрикував дані.

6. C-парадокс
Гени містять всю інформацію, необхідну для створення і виживання організму. Само собою зрозуміло, що складні організми повинні мати найскладніші геноми, але це не відповідає істині.

Одноклітинні амеби мають геноми в 100 разів більше, ніж у людини, насправді, у них чи не найбільші з відомих геномів. А у дуже схожих між собою видів геном може кардинально відрізнятися. Ця дивина відома як С-парадокс.
Цікавий висновок з С-парадокса - геном може бути більше, ніж це необхідно. Якщо все геноми в людській ДНК будуть використовуватися, то кількість мутацій на покоління буде неймовірно високим.

Геноми багатьох складних тварин на кшталт людей і приматів включають в себе ДНК, яка нічого не кодує. Це величезна кількість невикористаних ДНК, значно варіюється від істоти до істоти, здається, ні від чого не залежить, що і створює C-парадокс.

7. Безсмертний мураха на мотузці
Уявіть собі мурашки, що повзе по гумовій мотузці довжиною один метр зі швидкістю один сантиметр на секунду. Також уявіть, що мотузка кожну секунду розтягується на один кілометр. Чи дійде мураха коли-небудь до кінця?

Логічним видається те, що нормальний мураха на таке не здатний, тому що швидкість його руху набагато нижче швидкості, з якою розтягується мотузка. Проте, в кінцевому підсумку мураха добереться до протилежного кінця.

Коли мураха ще навіть не почав рух, перед ним лежить 100% мотузки. Через секунду мотузка стала значно більше, але мураха теж пройшов деяку відстань, і якщо вважати в процентах, то відстань, яке він повинен пройти, зменшилася - воно вже менше 100%, нехай і не набагато.

Хоча мотузка постійно розтягується, маленьке відстань, пройдену мурахою, теж стає більше. І, хоча в цілому мотузка подовжується з постійною швидкістю, шлях мурашки кожну секунду стає трохи менше. Мураха теж весь час продовжує рухатися вперед з постійною швидкістю. Таким чином, з кожною секундою відстань, яке він вже пройшов, збільшується, а то, що він повинен пройти - зменшується. У відсотках, само собою.

Існує одна умова, щоб задача могла мати рішення: мураха повинен бути безсмертним. Отже, мураха дійде до кінця через 2,8 × 1043.429 секунд, що трохи довше, ніж існує Всесвіт.

8. Парадокс екологічного балансу
Модель "хижак-жертва" - це рівняння, що описує реальну екологічну обстановку. Наприклад, модель може визначити, наскільки зміниться чисельність лисиць і кроликів у лісі. Припустимо, що трави, якою харчуються кролики, в лісі стає все більше. Можна припустити, що для кроликів такий результат сприятливий, тому що при великій кількості трави вони будуть добре розмножуватися і збільшувати чисельність.

Парадокс екологічного балансу стверджує, що це не так: спочатку чисельність кроликів дійсно зросте, але зростання популяції кроликів в закритому середовищі (лісі) призведе до зростання популяції лисиць. Потім чисельність хижаків збільшиться настільки, що вони знищать спочатку всю здобич, а потім вимруть самі.

На практиці цей парадокс не діє на більшість видів тварин - хоча б тому, що вони не живуть в закритому середовищі, тому популяції тварин стабільні. Крім того, тварини здатні еволюціонувати: наприклад, в нових умовах у видобутку з'являться нові захисні механізми.

9. Парадокс тритона
Зберіть групу друзів і подивіться всі разом це відео. Коли закінчите, нехай кожен висловить свою думку, збільшується звук або зменшується під час усіх чотирьох тонів. Ви здивуєтеся, наскільки різними будуть відповіді.

Щоб зрозуміти цей парадокс, вам потрібно знати дещо про музичних нотах. У кожної ноти є певна висота, від якої залежить, високий або низький звук ми чуємо. Нота наступної, більш високої октави, звучить в два рази вище, ніж нота попередньої октави. А кожну октаву можна розділити на два рівних Тритон інтервалу.

На відео тритон розділяє кожну пару звуків. У кожній парі один звук являє собою суміш однакових нот з різних октав - наприклад, поєднання двох нот до, де одна звучить вище іншої. Коли звук в тритоні переходить з однієї ноти на іншу (наприклад, сіль-дієз між двома до), можна цілком обгрунтовано інтерпретувати ноту як вищу або нижчу, ніж попередня.

Інша парадоксальне властивість тритонів - це відчуття, що звук постійно стає нижче, хоча висота звуку не змінюється. На нашому відео ви можете спостерігати ефект протягом цілих десяти хвилин.

10. Ефект Мпемби
Перед вами дві склянки води, абсолютно однакові в усьому, крім одного: температура води в лівому стакані вище, ніж у правому. Помістіть обидва склянки в морозилку. В якому склянці вода замерзне швидше? Можна вирішити, що в правому, в якому вода спочатку була холоднішою, проте гаряча вода замерзне швидше, ніж вода кімнатної температури.

Цей дивний ефект названий на честь студента з Танзанії, який спостерігав його в 1986-му році, коли заморожував молоко, щоб зробити морозиво. Деякі з найвидатніших мислителів - Аристотель, Френсіс Бекон і Рене Декарт - і раніше відзначали це явище, але не були в змозі пояснити його. Аристотель, наприклад, висував гіпотезу, що яка-небудь якість посилюється в середовищі, протилежної цій якості.

Ефект Мпемби можливий завдяки декільком факторам. Води в склянці з гарячою водою може бути менше, так як частина її випарується, і в результаті замерзнути має меншу кількість води. Також гаряча вода містить менше газу, а значить, в такій воді легше виникнуть конвекційні потоки, отже, замерзати їй буде простіше.

Інша теорія будується на тому, що слабшають хімічні зв'язки, які утримують молекули води разом. Молекула води складається з двох атомів водню, пов'язаних з одним атомом кисню. Коли вода нагрівається, молекули трохи відсуваються один від одного, зв'язок між ними слабшає, і молекули втрачають трохи енергії - це дозволяє гарячій воді остигати швидше, ніж холодної.