Парадокс колеса, над яким ламали голову Аристотель і Галілей

Вперше про парадокс колеса заговорили ще до Аристотеля, проте він перший впритул зайнявся його вивченням. Потім над вирішенням цього завдання бився Галілео Галілей.

Суть парадоксу полягає в наступному:

Маємо два колеса різного розміру, розташованих одне в іншому. Обидва колеса синхронно котяться і проходять певну відстань. Питання полягає в наступному: чи пройдуть обидва колеса однаковий шлях?

Якщо ви уважно подивитеся на гифку, то помітите: обидва колеса повністю здійснюють оборот по всій своїй окружності, щоб подолати одне і те ж відстань (див. На червону лінію). А також очевидно, що одна окружність менше інший. Це означає, що або колеса мають однакову окружність (що в корені невірно), або різні кола "розгортаються" на однакову довжину (чого бути ніяк не може).

А якщо уявити, що все це правда? Тоді технічно можливо, що колесо з окружністю в 2,54 сантиметра в стані пройти той же шлях за один оборот, що і колесо з окружністю, рівний 1,6 кілометрів.

Але такого просто не буває. Довжина кола з меншим радіусом не може бути дорівнює довжині окружності з великим радіусом. Так у чому ж справа?

Давайте простежимо маршрут, який проходить кожна точка кола від початку червоної лінії до її кінця. Переміщайте свій палець по лінії, яка позначає радіус кола, одночасно стежачи за траєкторією, яку проходить мала окружність від початку шляху до кінця.

Потім прослідкуйте траєкторію, яку проходить велика окружність від початку шляху до кінця. Очевидно, що точка на більшій кола проходить велику траєкторію, а, отже, більший шлях, щоб дістатися до тієї ж точки.

Інакше кажучи, можна їхати в Москву з Нижнього Новгорода через Володимир, а можна - через Архангельськ або Астрахань. Відстань від Нижнього до Москви залишається незмінним, але шляхи, які доведеться виконати за цими маршрутами, далеко не однакові.

У цьому-то і полягає пояснення парадоксу, над яким ламали голову найвидатніші уми людства.